MATEMÁTICA.. ESTÁS AHÍ 5 La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias

SALE A LA VENTA EN ABRIL!!!!!!!!
PRÓLOGO
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Empieza una nueva aventura. Un nuevo libro. El quinto
de la serie.
Es curioso cómo cambiaron las cosas para mí en estos últimos
cinco años, desde que apareció el primer volumen de Matemática…
¿estás ahí?
Antes, y debe de haber sido un problema mío (obviamente),
sentía la necesidad de “defenderme” porque me gustaba la matemática.
Ya no hablemos de “hacer” matemática, sino de tratar de
comunicarla, divulgarla, volverla popular.
La matemática tenía muy mala prensa. Hoy ya no creo que sea
tan así. La sociedad (me parece) está modificando su percepción.
Es como si hubiera habido un click en algún lugar, una lamparita
que se fue encendiendo y que motivó a muchas personas que históricamente
declaraban “yo no sirvo para la matemática”, “yo soy
pésimo en matemática”, “a mí nunca me interesó”, etc., a generar
una transformación en algún lugar.
Sin embargo, no me engaño: no creo que la gente haya cambiado
de idea. No. Siguen pensando lo mismo sobre lo que sufrieron
cuando eran jóvenes (o niños), pero lo que está afirmándose es la
convicción de que lo que creían que era la matemática no era tan
así. Como si lentamente se abriera paso la sospecha de que lo que
les enseñaron en el colegio o en la escuela no ERA la verdadera
matemática.
En todo caso, es como si una buena parte de la sociedad advirtiera
ahora que quizás fue un “síntoma de salud” que a uno no le
gustara, que la rechazara, que le resultara aburrida.
Para decirlo de otra forma: creo que la reacción adversa que
produjo en usted o en la mayoría de las personas es absolutamente
comprensible. ¿Cómo no habría de pasar? ¿Por qué no habría
de pasar?
Piénselo de la siguiente manera: si ya adulto usted estuviera
sentado en una sala donde una persona le diera respuestas a preguntas
que usted no se hizo, posiblemente se quedaría un rato
por respeto al que habla, pero después de un tiempo razonable se
levantaría y se iría. Al menos, es lo que haría yo.
Ahora traslademos esta situación al caso de los jóvenes/niños
que van al colegio y en forma compulsiva tienen que sentarse y
enfrentar la misma escena día tras día, con la “única” diferencia
de que ellos no pueden ausentarse voluntariamente. Tienen que
quedarse y escuchar. Quedarse y tomar apuntes. Quedarse y repetir.
Quedarse y prestar atención como si les interesara. Tienen que
quedarse y aburrirse.
¿No es esperable entonces que la mayoría de la gente diga después,
al cabo de varios años, que “la matemática le resultó inexpugnable,
aburrida, incomprensible e inútil”? ¿Por qué habría de
ser diferente?
Suponer, por ejemplo, que las marchas militares son LA música
daría lugar a una situación parecida. O que formar parte de una
barrera en un partido es EL fútbol. No. Si uno quiere seducir a
alguien con algo, no puede empezar por ahí. La música pasa por
Beethoven o la Negra Sosa, por Charly García o por Marta Argerich,
por Piazzolla o los Beatles, pero no por Aurora o la Marcha
de San Lorenzo.
El fútbol es Maradona y Messi, Pelé y Ronaldo, gambetas imposibles
o goles memorables en partidos trascendentes, y no tiros
libres desviados en una barrera bien formada por jugadores que
saltan al unísono. Es decir, eso que nos contaron y nos presentaron
durante muchísimos años como “la” matemática produjo lo inevitable:
un fuerte rechazo.
Lo que ni usted ni yo sabíamos en ese momento es que lo que
nos decían que era LA matemática, en realidad, no lo era. No es
que no tenga NADA que ver con la matemática. SÍ, tiene que ver,
pero no es ni por asomo LA matemática. Estoy convencido de que
la matemática que hay que enseñar en los primeros estadios es
la matemática recreativa, la matemática del juego. Es cuestión de
encontrar los desafíos adecuados como si fueran tesoros, de salir a
buscarlos. Con la matemática HAY QUE JUGAR.
En todo caso, la idea no debería ser acumular conocimientos o
conceptos, sino estimular la creatividad. Cualquiera de nosotros
puede almacenar información en su base de datos. Es sólo cuestión
de entrenar la memoria. Pero la memoria tiene “patas cortas”.
Uno se olvida de lo que no usa, y uno usa sólo lo que le sirve, lo
que necesita.
Por otro lado, si uno quiere “tararear” una canción, no necesita
saber “escribir” música, ni saber leer lo que está escrito en un pentagrama.
Uno disfruta de poder cantar o escuchar una canción sin
necesidad de saber música. ¿Se imagina lo que sentiríamos como
sociedad si se privara de la música a todos los que no pueden componerla
o leerla? Bueno, eso es lo que pasa con la matemática. En
los momentos iniciales de nuestras vidas nos pasamos muchísimo
tiempo tratando de aprender técnicas que poco tienen que ver
con la belleza que encierra. Y casi nunca llegamos a apreciarla.
O si quiere, exagerando, piénselo así: uno aprende primero a
hablar y después a escribir. Un niño empieza a hablar al año, más
o menos, pero recién escribe y se comunica de esa forma a partir
de los cuatro o cinco (o incluso más). ¿Se imagina a un niño sin
poder hablar hasta no saber escribir?
¿Por qué no hacer lo mismo con la matemática? Más allá de las
operaciones aritméticas elementales, el desafío no es “bajar línea”,
sino tratar de liberar la creatividad y la imaginación que cada niño
posee. Lo que no tiene perdón es “matar la creatividad”. Los niños
van al colegio o a la escuela con una película virgen sobre la cual
vamos a ayudarlos a que escriban su vida. No cumplimos con la
tarea de adultos responsables si no los dejamos disfrutar de encontrar
su propio camino. El placer del recorrido, no el supuesto
placer de la llegada.

El objetivo es jugar y divertirse con la matemática en los primeros
años. Disfrutar de hacer preguntas. Mejor dicho: lo que me
parece más valioso es ayudar a generar preguntas.
Pero este libro no está pensado sólo para niños, sino para todo el
mundo, para personas de cualquier edad. Se trata de poder –aun
ahora– “jugar con la matemática”, disfrutar de pensar, de considerar
problemas, de suponer que faltan datos y luego descubrir que
no era así, de aprender a frustrarnos porque algo no nos sale tan
rápido como querríamos, y sobre todo, a disfrutar del trayecto. Y
siempre habrá una página de respuestas que lleguen en auxilio de
la desesperación cuando haga falta.
Quiero reproducir acá lo que leí alguna vez, aunque no sepa
exactamente a quién corresponde el crédito. En cualquier caso,
no soy yo el autor. Decía así:
Uno no deja de jugar porque envejece,
sino que envejece porque deja de jugar.
La matemática no está hecha para ser observada, ni para ver lo
que hicieron otros (y eventualmente frustrarse con eso). No. A la
matemática hay que hacerla, transformarla, mejorarla, cambiarla.
Y eso sólo se consigue estimulando la creatividad.
La idea entonces es tratar de recuperar (si es posible) algo de lo
que nos han privado (o que nos han “robado”) en nuestra niñez/
juventud: el placer de disfrutar de la “otra cara” de la matemática,
la que deberíamos haber conocido antes. El objetivo de todos estos
libros es que no nos perdamos la oportunidad de jugar con la matemática,
aunque uno crea que “ya pasó la oportunidad”.
Lo que sigue, entonces, apunta en esa dirección. Ojalá que usted
disfrute al leerlo tanto como yo al escribirlo.
Continuará.


Los problemas
Carrera de 100 metros y orden de llegada
Además de ser entretenido, este problema sirve para entrenar
la capacidad de pensar. Por eso no vale la pena que lea el
resultado antes de intentar una respuesta. Perdería toda la gracia
(y creo que la tiene).
Acá va: se corrieron los 100 metros llanos en los juegos olímpicos.
Participaron en la final sólo cinco competidores: Bernardo, Diego,
Ernesto, Antonio y Carlos. Fíjese si, partiendo de los siguientes datos,
puede encontrar el orden en el que llegaron a la meta:
A) Antonio no fue ni el primero ni el último.
B) Antonio, sin embargo, quedó por delante de Bernardo.
C) Carlos corrió más rápido que Diego.
D) Ernesto fue más rápido que Antonio pero más lento que
Diego.
Antes de avanzar, permítame sugerirle algo. En general, para resolver
este tipo de problemas hace falta tener el tiempo suficiente
como para sentarse un rato, escribir y conjeturar. Llegar a la solución
suele ser irrelevante. El atractivo, en todo caso, surge del
recorrido, de la capacidad para imaginar y pensar. Es, ni más ni
menos, que un problema de lógica pura. Que lo disfrute.
(Solución: 115-121)


Medias blancas y medias negras
En un cajón hay cuatro medias (no pares de medias, sino medias
sueltas) que son o bien de color blanco (B) o bien de color negro
(N). Se sabe que si metemos la mano y sacamos dos medias cualesquiera,
la probabilidad de que ambas resulten blancas es de ½.
¿Cuál es la probabilidad de sacar un par de medias negras?
(Solución: 121-123)
Uvas y cerezas
Éste es un problema clásico, muy lindo. Supongamos que usted es
un frutero que no sólo quiere vender frutas por separado sino que
intenta mezclar algunas frutas de estación y ofrecerlas en contenedores
especialmente preparados.
En este caso, el frutero tiene estas frutas:
a) 40 kilos de uvas que le costaron $ 71 por kilo.
b) Varios kilos de cerezas que le costaron $ 50 por kilo.
Si quiere usar todas las uvas, ¿cuántos kilos de cerezas tendrá que
incluir, de manera tal que la mezcla cueste $ 64 por kilo?
(Solución: 123-124)
Grilla de números con incógnita
El que sigue también es un problema clásico. Es decir, existen muchísimas
variantes, todas muy parecidas y con soluciones similares.
Una vez que haya descubierto qué es lo que hay que hacer, verá
que no vale la pena avanzar con otros ejemplos. Son todos iguales.
Acá va un caso.


A uno le dan una grilla de letras y números como ésta:
A A B B 14
C D C D 6
A D C B 10
A D B B 11
14 7 10 x
El objetivo es reemplazar todas las letras por números enteros positivos
de manera tal que, si uno suma todos los números de la
primera fila, el resultado sea 14. Al sumar los de la segunda fila, el
resultado debe ser 6. En el caso de la tercera, 10, y en el de la cuarta,
11. Y lo mismo con las columnas. La suma de la primera debe
dar 14, la segunda 7, la tercera 10 y la cuarta tiene un valor x, por
ahora desconocido. El problema consiste en encontrar los valores
de A, B, C, D y también de x.1
(Solución: 124-127)
Problema para pensar con dos dígitos
Elija un número de dos dígitos cualesquiera (que no sean iguales).
Para fijar las ideas, yo voy a elegir uno: 73 (pero, obviamente, el
problema funciona con cualquier número).
Escríbalo en alguna parte. Ahora, conmute las cifras del número
1 Si el problema consistiera solamente en encontrar el valor de x, sería
mucho más sencillo, ya que la suma de los números de la última columna
(14, 6, 10 y 11) y la suma de los números de la última fila (14, 7,
10, x) tienen que ser iguales. Es decir:
14 + 6 + 10 + 11 = 41 = 14 + 7 + 10 + x
41 = 31 + x
Y de acá se deduce (despejando la x) que el valor de x es (41 – 31) = 10.
O sea, uno puede calcular el valor de la x sin necesidad de conocer
A, B, C y D.


que eligió (“conmutar” significa cambiarlas de lugar). En el caso
que yo elegí (el 73), al conmutar los dígitos obtengo:
37
Una vez hecho esto, prepárese para restar los dos números (poniendo
el mayor encima del menor). En este caso la cuenta sería así:
– 73
37
Y el resultado es 36.
Ahora, fíjese en la siguiente tabla:
1 ! 11 @ 21 # 31 = 41 % 51 % 61 ^ 71 * 81 & 91 *
2 @ 12 # 22 $ 32 # 42 $ 52 % 62 $ 72 & 82 $ 92 @
3 # 13 @ 23 + 33 ^ 43 # 53 + 63 & 73 @ 83 * 93 $
4 $ 14 & 24 * 34 ! 44 ^ 54 & 64 + 74 @ 84 % 94 !
5 % 15 + 25 & 35 % 45 & 55 = 65 # 75 % 85 + 95 @
6 ^ 16 % 26 $ 36 & 46 # 56 % 66 + 76 # 86 ! 96 %
7 + 17 = 27 & 37 ^ 47 @ 57 = 67 ^ 77 % 87 # 97 !
8 * 18 & 28 = 38 + 48 @ 58 % 68 % 78 @ 88 ^ 98 #
9 & 19 ^ 29 & 39 = 49 & 59 $ 69 # 79 ^ 89 % 99 &
10 = 20 + 30 = 40 % 50 ^ 60 # 70 * 80 $ 90 + 00 &
Tabla 1
Fíjese en el símbolo que se encuentra a la derecha del número que
obtuvo. (En el ejemplo que he elegido, al lado del 36 está el símbolo
&.)
Usted también encontró &, ¿no es así?
Hagamos juntos otro ejemplo (elija otro número). Yo voy a usar el
82. Como vimos en el caso anterior, conmuto los dígitos (o sea, los
cambio de lugar). Ahora tengo el número 28. Los resto (es decir, al
mayor le resto el menor):


82 – 28 = 54
Igual que antes, pero ahora con el número 54 (y usted con el número
al que llegó), fíjese en la siguiente tabla:
1 ! 11 ~ 21 ] 31 = 41 % 51 % 61 ^ 71 * 81 > 91 *
2 ~ 12 ] 22 $ 32 ] 42 $ 52 % 62 $ 72 > 82 $ 92 ~
3 ] 13 ~ 23 + 33 ^ 43 ] 53 + 63 > 73 ~ 83 * 93 $
4 $ 14 > 24 * 34 ! 44 ^ 54 > 64 + 74 ~ 84 % 94 !
5 % 15 + 25 > 35 % 45 > 55 = 65 ] 75 % 85 + 95 ~
6 ^ 16 % 26 $ 36 > 46 ] 56 % 66 + 76 ] 86 ! 96 %
7 + 17 = 27 > 37 ^ 47 @ 57 = 67 ^ 77 % 87 ] 97 !
8 * 18 > 28 = 38 + 48 ~ 58 % 68 % 78 ~ 88 ^ 98 ]
9 > 19 ^ 29 > 39 = 49 > 59 $ 69 ] 79 ^ 89 % 99 >
10 = 20 + 30 = 40 % 50 ^ 60 ] 70 * 80 $ 90 > 00 >
Tabla 2
Observe el símbolo que figura a la derecha del número que encontró.
En mi ejemplo (82 – 28 = 54), al lado del 54 está el símbolo
>. ¡No me diga que usted también encontró el mismo! ¿Por
qué habrá pasado esto?
Ahora, ¿no le dan ganas de descubrir cómo hice para que nuestros
resultados coincidieran? Más aún: ¿no le interesaría revisar
todo el proceso para entender cómo yo puedo saber qué símbolo
encontró?
Repita todo lo que hicimos juntos empezando con otro número.
Fíjese nuevamente en lo que pasa. Creo que conviene que se tome
un tiempo para pensarlo…
(Solución: 127-129)


¿Quién dice la verdad?
No sé cómo lo vive usted, pero cuando yo escucho un problema que
me interesa, lo pienso durante un tiempo y, si puedo, lo resuelvo
solo. Si no puedo, consulto, leo, hasta sentir que hice todo lo posible
por encontrar la respuesta. Pero aun cuando la encuentre (solo o
con ayuda), me sucede que después de un tiempo la olvido.
Por eso, cuando me tropiezo con el problema otra vez, en lugar
de recordar la solución que encontré en algún momento anterior,
aprovecho para pensarlo nuevamente. Claro, hay veces que me
acuerdo de lo que había hecho para resolverlo –porque lo vi hace
poco o porque me dejó marcado por alguna razón–. Pero otras veces
decididamente no me acuerdo. Y esto es bueno no sólo porque
me permite pensarlo de nuevo, sino porque me hace creer que
estoy frente a un problema nuevo.
Lo que motivó esta digresión es un problema que escuché hace
mucho tiempo, pero que tengo que volver a pensar cada vez que
veo. Y lo bueno es que siempre me lleva un poco de tiempo (o
mucho, dependiendo de las circunstancias). Lo planteo acá y la/
lo dejo con él. Es una verdadera joyita.
En el país Vermentira (por ponerle un nombre), la gente está dividida
de la siguiente forma: están aquellos que dicen siempre la
verdad (los verdotones) y aquellos que mienten siempre (los mentirones).
Lo curioso es que, al margen de que cada uno tenga esa
característica tan particular, no hay forma de distinguirlos por su
apariencia.
Ahora supongamos que una persona viaja desde Madrid y, no
bien llega a este país tan especial, se encuentra con tres mujeres,
que voy a llamar Alicia, Beatriz y Carmen. Esta persona está informada
de las características en que está dividida la población de
Vermentira y, cuando enfrenta a estas mujeres, ansía ver de qué
manera puede descubrir a qué categoría pertenece cada una, y
entonces decide hacerles las siguientes preguntas:


1) A Alicia le pregunta: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”.
Y Alicia le contesta: A mentirones.
2) A Beatriz le pregunta: “¿Es verdad que Alicia y Carmen
pertenecen a diferentes categorías?”. Y Beatriz le responde:
No.
3) Por último, le pregunta a Carmen lo mismo que le había
preguntado a Alicia: “¿A qué categoría pertenece Beatriz?”.
Y Carmen le dice: Ella es una verdotona.
El problema consiste en poder contestar:
a) Con esas tres preguntas que hizo la persona, ¿se puede
determinar a qué categoría pertenece cada una de las
mujeres?
b) Si se pudiera, indique a qué grupo pertenecería cada
una (Alicia, Beatriz y Carmen).
c) Si no se pudiera, explique las razones.
(Solución: 129-131)
¿Cierto o falso?
El que sigue es un problema interesante, porque no requiere “saber”
nada, ni haber “aprendido” nada. Es un problema “puro”.
¿Qué quiero decir con esto? Que no hace falta ningún conocimiento
previo ni haber estudiado nada de lo que nos “enseñan”
en ninguno de los escalones naturales de la educación: escuela
primaria, colegio secundario, etc.
Para abordarlo, sólo hace falta tener ganas de pensar. Nada más.
Nada menos, también. La/lo invito a que se entretenga en el camino.
Se trata de poder decidir cuál (o cuáles) de las siguientes frases
es (o son) ciertas o falsas. Y, por supuesto, de dar una razón que
explique su conclusión. Acá van:


1) Exactamente una frase de esta lista es falsa.
2) Exactamente dos frases de esta lista son falsas.
3) Exactamente tres frases de esta lista son falsas.
4) Exactamente cuatro frases de esta lista son falsas.
5) Exactamente cinco frases de esta lista son falsas.
6) Exactamente seis frases de esta lista son falsas.
7) Exactamente siete frases de esta lista son falsas.
8) Exactamente ocho frases de esta lista son falsas.
9) Exactamente nueve frases de esta lista son falsas.
10) Exactamente diez frases de esta lista son falsas.
(Solución: 131-133)
Los eslabones de una cadena de oro
El que sigue es un problema interesante porque obliga a pensar…
lo cual no tiene nada de malo. Sin embargo, cuando me enfrenté
con él creí que lo había resuelto casi inmediatamente, aunque había
algo que me seguía intrigando. No estaba convencido de que
estuviera bien.
Sabía que la solución estaba escrita en un libro (es un problema
que planteó Martin Gardner hace muchos años), pero me resistía
a mirarla. Por eso es que la/lo invito a que no se deje tentar por
las ganas de cotejar si la solución que encontró es la ideal o no.
Es decir, tómese un tiempo para buscar otras alternativas. Creo
que lo mejor es contarle el problema y dejar que lo piense con
tranquilidad.
Un joven está estudiando en una provincia alejado de su familia.
Todos los meses, sus padres le envían una cantidad de dinero suficiente
como para que pueda afrontar sus gastos.
Cierta vez, por una dificultad financiera, el dinero no llega a
tiempo y, para peor, le avisan que demorará algunas semanas. Necesita
encontrar la manera de pagar el alquiler de la habitación
en la que duerme, y recuerda que tiene una cadena de oro con 23
eslabones.


Se le ocurre una idea y decide ponerla en práctica. Habla con
la dueña del hotel y, entre ambos, concluyen que si él le da un eslabón
de la cadena por día, cubre exactamente el valor diario que
paga por la habitación. Y de esa forma puede solventar su estadía
durante los veintitrés días. Sus padres le aseguran que el dinero
llegará en algún momento durante ese lapso.
Entonces, como él sabe que recibirá el dinero, tiene la intención
de arruinar su cadena lo menos posible. Es decir, prefiere
hacer la menor cantidad de cortes posibles, de manera tal que
cada día la señora tenga en su poder tantos eslabones como días
él le adeuda.
En realidad, perfecciona un poco su idea porque advierte que,
si la mujer le permite entregar un eslabón un día y al día siguiente
–cuando debería entregarle otro– ella le devuelve el del día anterior
y acepta canjeárselo por una combinación de dos eslabones,
y así siguiendo, quizá pueda evitarse tener que cortar la cadena
todos los días.
Después de explicarle su idea (para dañar la cadena lo menos
posible), el acuerdo al que llega con la dueña es el siguiente: él
puede darle un eslabón por día, o puede darle un eslabón el día
1, el día 2 puede pedirle ese eslabón y entregarle a cambio una pequeña
cadena compuesta por dos eslabones. El día 3 puede darle
un eslabón solo (que junto con los dos que ella tiene le servirían
para pagar el tercer día) o puede pedirle que le devuelva los dos
que ella ya tiene y entregarle un pequeño segmento (una “minicadena”)
con tres eslabones, y así siguiendo, día por día. Lo único
que debería importarle a la dueña es tener en su poder cada día
la cantidad de eslabones equivalente a la cantidad de días que el
estudiante estuvo en su hotel.
Ahora viene la pregunta: ¿cuál es el mínimo número de cortes
que tiene que hacer el joven estudiante para arruinar su cadena lo
menos posible y honrar su acuerdo los veintitrés días?
(Solución: 133-137)